Simulación con Monte Carlo

Concepto

Frente a una función aleatoria y=y(x) (con x como variable con características probabilísticas conocidas) se trata de estimar valores estadísticos para y. La complejidad de la función y(x) sustenta la búsqueda de esta simulación. El método más conocido para este requerimiento es el de Montecarlo. Además de conocer la expresión y=y(x) y las características aleatorias de la variable x (su valor medio, la desviación estándar así como su función de distribución de probabilidades), se necesita generar (por ejemplo con MATLAB o con una función de generación) o contar con una tabla de números aleatorios.

El método

Simulación con Monte Carlo.

Considérese que la variable x responde a una distribución normal o gaussiana como la de la figura (tomada de MATLAB), con media, μ, igual a 0 y desviación estándar, σ, unitaria. Según corresponde, la función de distribución acumulada de probabilidades, F, tiene valores entre 0 y 1. Estrictamente, puede tratarse de otro tipo de distribución.

En la tabla de números aleatorios (tomada de algún texto o generada directamente) se busca una secuencia entre 00 y 99 (generalmente se presentan con valores enteros, y en este caso se les divide entre 100). Se obtiene una secuencia de n números aleatorios de F. ¿Cuántos n? De momento, 10.

Para cada uno de estos valores asignados a la función acumulada F (o del gráfico de ser posible), se encuentra al correspondiente valor x generando una muestra aleatoria de esta variable. Es posible entonces, calcular el valor medio y la desviación estándar de la muestra de x, así como graficar el resultado para conocer de su distribución de frecuencias. En la siguiente tabla se proporciona un ejemplo a partir de 10 valores aleatorios para la distribución F.

Muestra simulada con el método Monte Carlo
Muestra F (de la tabla de números aleatorios de dos dígitos dividido entre 100)	Muestra x (a partir de la función acumulada de probabilidades, según el gráfico F, x)	Muestra y (a partir de la expresión original y=y(x))
0.83	0.97
0.37	-0.32
0.52	0.06
0.23	-0.72
0.42	-0.19
0.48	-0.04
0.11	-1.20
0.20	-0.83
0.73	0.63
0.17	-0.93
Valor medio de la muestra x:	-0.26
Desviación estándar de la muestra x:	0.6939

Es posible que al encontrar el valor medio de la muestra de x, y su desviación estándar, se encuentren valores distantes a 0.00 y 1.00, como es el caso de la tabla. Ello obligará a nuevas simulaciones que conduzcan a resultados aceptables, o como se utiliza, incrementar el número de n. De hecho, existen formas de estimar un valor adecuado para este número.

Finalmente, con la secuencia de valores aceptables de x, y el uso de la función y=y(x), se encuentra una muestra aleatoria de y (que permita encontrar sus parámetros estadísticos) lo cual es el propósito del método de Monte Carlo.

Caso de un factor de seguridad

Existen aplicaciones del método de Monte Carlo a problemas diversos de Ingeniería Civil. Uno de ellos es el caso del factor de seguridad, medido como relación entre la resistencia R (relativa a un material o a un elemento en estudio, con un valor disponible), y la carga Q (como variable aleatoria). El cálculo puede plantearse en alguna de estas dos formas.

Para una de ellas, considérese la expresión FS=R/Q.

· Donde Q es una medida de la carga con media μ_Q, desviación estándar σ_Q y una distribución conocida de probabilidades (no necesariamente normal). R es el valor conocido de la resistencia.

· Con el método de Monte Carlo se estima una muestra de Q. Dividido cada valor entre R, se obtiene la muestra de FS, y se calculan sus características estadísticas.

La otra forma de plantear el problema es con la expresión D=R-Q. En donde D es aquel valor deseable como positivo, que mide el exceso de la resistencia sobre la carga. El método de Monte Carlo permite simular una muestra para D y encontrar sus correspondientes propiedades estadísticas.

Otros casos y variantes

Progresivamente se han desarrollado ejemplos de interés, así como variantes que facilitan la selección de la muestra para resolver problemas complejos. O para el caso de una función con varias variables aleatorias. Ver por ejemplo la siguiente referencia cuyos autores provienen de la Universidad de Michigan, USA.

Andrzej S. Nowak and Kevin R. Collins. Reliability of Structures. McGraw-Hill Higher Education. International Edition, 2000.

Estimación probabilística. Muestreo aleatorio simple. Muestreo estratificado. ISO/IEC 17025.

Metodología de Investigación

Propuesta para temas de Ingeniería Civil